Question

已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，連結，是線段上一動點，以為一邊向右側作正方形，連結．若，．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：；
（3）求的度數；
（4）當點沿軸正方向移動到點時，點也隨著運動，則點所走過的路線長是        ．

Answer 1

（1）；（2）由（1）得點B、C的坐標，即可得到，證得≌，根據全等三角形的性質求解即可；（3）45°；（4）

試題分析：（1）由可知此拋物線的對稱軸是軸，即，即可求得點B、C的坐標，再根據三角形的面積公式求解即可；
（2）由（1）得點B、C的坐標，即可得到，證得≌，根據全等三角形的性質求解即可；
（3）作軸，交于點，易證≌，所以，，又因為，即得，從而可以求得結果；
（4）由（3）知，點在定直線上，當點沿軸正方向移動到點時，即得點所走過的路線長．
（1）由，可知此拋物線的對稱軸是軸，即
所以
由，得
拋物線解析式為 ；
（2）由（1）得
所以 
在和中
，
所以≌ 
所以
所以
所以；
（3）作軸，交于點
易證≌
所以，
又因為
所以            
因為
所以；
（4）由（3）知，點在定直線上
當點沿軸正方向移動到點時，
點所走過的路線長等于．
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.