Question

已知一個二次函數的關系式為 y＝x²-2bx＋c．
（1）若該二次函數的圖象與x軸只有一個交點，
①則b、c 應滿足關系為                ；
②若該二次函數的圖象經過A（m，n）、B（m +6，n）兩點，求n的值；
（2）若該二次函數的圖象與x軸有兩個交點C（6，0）、D（k，0），線段CD（含端點）上有若干個橫坐標為整數的點，且這些點的橫坐標之和為21，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）c=b²，9；（2）7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5．

試題分析：（1）①根據二次函數的圖象與x軸只有一個交點，則b²-4ac=0，由此可得到b、c 應滿足關系；
②把A（m，n）、B（m+6，n）分別代入拋物線的解析式，再根據①的結論即可求出n的值；
（2）因為y=x²-2bx+c圖象與x軸交于C（6，0），即可得到36-12b+c=0，所以c=12b-36，進而得到k=2b-6，再根據C、D之間的整數和為21，即可求出b的取值范圍．
（1）①∵二次函數的圖象與x軸只有一個交點，
∴b²-4ac=0，
∴c=b²，
②由，
得b=m+3，則c=（m+3）²；
于是，n=m²-2（m+3）m+（m+3）²=9；
（2）∵y=x²-2bx+c圖象與x軸交于C（6，0）
∴36-12b+c=0，∴c=12b-36
∴y=x²-2bx+12b-36，
令y=0得x²-2bx+12b-36=0
解得：x₁=6，x₂=2b-6，即k=2b-6；
∵C、D之間的整數和為21，
∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，
∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，
解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5．