Question

如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點(diǎn)，以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱(chēng)軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？直接寫(xiě)出所有符合條件的t值．

Answer 1

（1）y=-x²-2x+3；（2）（，）  （3）當(dāng)t為秒或2秒或3秒或秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形

解析試題分析：（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3），運(yùn)用配方法求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)G，連接FG，根據(jù)S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=3，列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，n）．先由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求出BC²=10，再分三種情況進(jìn)行討論：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB²+BC²=PC²，據(jù)此列出關(guān)于n的方程，求出n的值，再計(jì)算出PD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的t值；②∠BPC=90°，同①可求出對(duì)應(yīng)的t值；③∠BCP=90°，同①可求出對(duì)應(yīng)的t值．
試題解析：（1）∵y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
將A（-3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，得
， 解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
（2）如圖1，

設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3），則m＜0，-m²-2m+3＜0．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)G，連接FG，則G（-1，0），AG=2．
∵直線AB的解析式為y=x+3，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）．
∵S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=×2×2+×2×（m²+2m-3）-×2×（-1-m）=m²+3m，
∴以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3時(shí)，m²+3m=3，
解得：，（舍去），
當(dāng)時(shí)，-m²-2m+3=-m²-3m+m+3=-3+m+3=m=，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC²=1²+3²=10．
分三種情況：①如圖2，如果∠PBC=90°，那么PB²+BC²=PC²，

即（0+1）²+（n-3）²+10=（1+1）²+（n-0）²，
化簡(jiǎn)整理得6n=16，解得n=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，），
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
∴PD=4-=，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴t₁=；
②如圖3，如果∠BPC=90°，那么PB²+PC²=BC²，

即（0+1）²+（n-3）²+（1+1）²+（n-0）²=10，
化簡(jiǎn)整理得n²-3n+2=0，解得n=2或1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）或（-1，1），
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴t₂=2，t₃=3；
③如圖4，如果∠BCP=90°，那么BC²+PC²=PB²，

即10+（1+1）²+（n-0）²=（0+1）²+（n-3）²，
化簡(jiǎn)整理得6n=-4，解得n=-，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-），
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），
∴PD=4+=，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴t₄=；
綜上可知，當(dāng)t為秒或2秒或3秒或秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.