Question

我們給出如下定義：如圖①，平面內兩條直線l₁、l₂相交于點O，對于平面內的任意一點M，若p、q分別是點M到直線l₁和l₂的距離（P≥0，q≥0），稱有序非負實數對[p，q]是點M的距離坐標．
根據上述定義，請解答下列問題：
如圖②，平面直角坐標系xoy內，直線l₁的關系式為y=x，直線l₂的關系式為y=

1

2

x，M是平面直角坐標系內的點．
（1）若p=q=0，求距離坐標為[0，0]時，點M的坐標；
（2）若q=0，且p+q=m（m＞0），利用圖②，在第一象限內，求距離坐標為[p，q]時，點M的坐標；
（3）若p=1，q=

1

2

，則坐標平面內距離坐標為[p，q]時，點M可以有幾個位置？并用三角尺在圖③畫出符合條件的點M（簡要說明畫法）．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得此時M在兩直線的交點位置．
（2）由題意可得此時點M在直線l₂上，根據l₂的解析式設出M點坐標，再根據k的幾何意義可得出M點坐標．
（3）運用平行線的知識進行此問的解答．

解答：解：（1）∵p=q=0
∴點M是l₁和l₂的交點，故M（0，0）

（2）∵q=0
∴點M在l₂上，
如圖②，在第一象限內取點M(a，

1

2

a)，過點M作MA⊥l₁交l₁于點A，過點M作BC∥y軸交l₁、x軸于點B、C
則OC=BC
∵q=0，p+q=m（m＞0）
∴p＞0，
即MA=m，
∵∠B=45°，
∴BM=

2

AM=

2

m，BC=BM+MC=

2

m+

1

2

a
由OC=BC得a=

2

m+

1

2

a，解得a=2

2

m，
則M(2

2

m，

2

m)

（3）點M有4個
畫法：
①分別過點(0，

2

)、(0，-

2

)作與直線l₁平行的直線EF、E₁F₁（與l₁距離為1）
②分別過點(0，

5

4

)、(0，-

5

4

)作與直線l₂平行的直線GH、G₁H₁（與l₂距離為

1

2

）
③直線EF、E₁F₁、GH、G₁H₁的4個交點M₁、M₂、M₃、M₄就是符合條件的點．

點評：本題考查了一次函數的知識，綜合性較強，難度較大，同學們要注意細心地進行題干的分析，然后根據題意解答．