Question

某商場購進一批單價為50元的商品，規定銷售時單價不低于進價，每件的利潤不超過40%．其中銷售量y(件)與所售單價x(元)的關系可以近似的看作如圖所表示的一次函數．

(1)求y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍；
(2)設該公司獲得的總利潤(總利潤＝總銷售額－總成本)為w元，求w與x之間的函數關系式．當銷售單價為何值時，所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

(1) y=-10x+1000，50≤x≤70；(2) 70,6000.

試題分析：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b，利用圖象經過點（60，400）和（70，300），利用待定系數法求解即可；
（2）用x表示總利潤，得到W=-10x²+1500x-50000，根據二次函數最值的求法求當銷售單價為70元時，所獲得利潤有最大值為6000元．
試題解析：（1）最高銷售單價為50（1+40%）=70（元），
根據題意，設y與x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），
∵函數圖象經過點（60，400）和（70，300），
∴ ，
解得 k=-10，b=1000，
∴y與x之間的函數關系式為y=-10x+1000，
x的取值范圍是50≤x≤70；
（2）根據題意，w=（x-50）（-10x+1000），
W=-10x²+1500x-50000，w=-10（x-75）²+6250，
∵a=-10，
∴拋物線開口向下，
又∵對稱軸是x=75，自變量x的取值范圍是50≤x≤70，
∴w隨x的增大而增大，
∴當x=70時，w_最大值=-10（70-75）²+6250=6000（元），
∴當銷售單價為70元時，所獲得利潤有最大值為6000元．
考點: 1.二次函數的應用；2.一次函數的應用.