Question

（2012•綿陽(yáng)）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，二次函數(shù)y=ax²+

1

6

x+c的圖象F交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，其中B（-3，0），M（0，-1）．已知AM=BC．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）證明：在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請(qǐng)求出直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l過(guò)D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點(diǎn)，AC、BD相交于N．
①若直線l⊥BD，如圖1，試求

1

BP

+

1

BQ

的值；
②若l為滿(mǎn)足條件的任意直線．如圖2．①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，證明你的猜想；若不成立，請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，可得AD=BC且AD∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形；再根據(jù)B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（3）本問(wèn)的關(guān)鍵是判定平行四邊形ABCD是菱形．
①推出AC∥直線l，從而根據(jù)平行線間的比例線段關(guān)系，求出BP、CQ的長(zhǎng)度，計(jì)算出

1

BP

+

1

BQ

=

1

5

；
②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ=25，利用這個(gè)關(guān)系式對(duì)

1

BP

+

1

BQ

進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)求值，結(jié)論為

1

BP

+

1

BQ

=

1

5

不變．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+

1

6

x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-3，0），M（0，-1），
∴

9a+ 1 6 ×(-3)+c=0 c=-1

，
解得a=

1

6

，c=-1．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=

1

6

x²+

1

6

x-1．

（2）由二次函數(shù)的解析式為：y=

1

6

x²+

1

6

x-1，
令y=0，得

1

6

x²+

1

6

x-1=0，
解得x₁=-3，x₂=2，∴C（2，0），∴BC=5；
令x=0，得y=-1，∴M（0，-1），OM=1．
又AM=BC，∴OA=AM-OM=4，∴A（0，4）．
設(shè)AD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，如圖1所示，
則y_D=

1

6

x²+

1

6

x-1=OA=4，
解得x₁=5，x₂=-6（位于第二象限，舍去）
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）．
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
即在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形．
設(shè)直線BD解析式為：y=kx+b，∵B（-3，0），D（5，4），
∴

-3k+b=0 5k+b=4

，
解得：k=

1

2

，b=

3

2

，
∴直線BD解析式為：y=

1

2

x+

3

2

．

（3）在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=5，又AD=BC=5，∴?ABCD是菱形．
①若直線l⊥BD，如圖1所示．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直線l，
∴

BA

BP

=

BC

BQ

=

BN

BD

=

1

2

，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴

1

BP

+

1

BQ

=

1

10

+

1

10

=

1

5

；
②若l為滿(mǎn)足條件的任意直線，如圖2所示，此時(shí)①中的結(jié)論依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴△PAD∽△DCQ，
∴

AP

CD

=

AD

CQ

，
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25．
∴

1

BP

+

1

BQ

=

1

AB+AP

+

1

BC+CQ

=

1

5+AP

+

1

5+CQ

=

(5+AP)+(5+CQ)

(5+AP)(5+CQ)

=

10+AP+CQ

25+5(AP+CQ)+AP•CQ

=

10+AP+CQ

50+5(AP+CQ)

=

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)壓軸題，正確解答本題需要熟練掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二次函數(shù)與一次函數(shù)）、平面圖形的性質(zhì)與應(yīng)用（平行四邊形、菱形、相似三角形、平行線等）．本題涉及考點(diǎn)較多，雖有一點(diǎn)的難度，但相信不少考生均可順利解答．第（3）問(wèn)中，需要注意平行四邊形ABCD是菱形，這樣后續(xù)的計(jì)算均可迎刃而解．