Question

（2012•莆田）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D．求證：AB²=AD•AC；
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F．

AB

BC

=

BD

DC

=1，求

AF

FC

的值；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為直線BC上的動點（點D不與B、C重合），直線BE⊥AD于點E，交直線AC于點F．若

AB

BC

=

BD

DC

=n，請探究并直接寫出

AF

FC

的所有可能的值（用含n的式子表示），不必證明．

Answer 1

分析：（1）本問是射影定理的證明．首先證明一對相似三角形△ADB∽△ABC，然后利用相似三角形比例線段的關系得到AB²=AD•AC；
（2）構造平行線，得到線段之間的比例關系，并充分利用（1）中的結論；
（3）本問是將（2）中的結論推廣到一般情形，解題方法與（2）相同．注意有三種情形，如圖④、⑤、⑥所示，不要遺漏．

解答：（1）證明：如圖①，∵BD⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∴AB²=AD•AC．

（2）解：方法一：
如圖②，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，
∵BE⊥AD，
∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF．
∵

AB

BC

=

BD

DC

=1，
∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴△BDE≌△CDG，
∴ED=GD=

1

2

EG．
由（1）可得：AB²=AE•AD，BD²=DE•AD，
∴

AE

DE

=

AB2

BD2

=

(2BD)2

BD2

=4，
∴AE=4DE，
∴

AE

EG

=

4DE

2DE

=2．
∵CG∥BF，
∴

AF

FC

=

AE

EG

=2．
方法二：
如圖③，過點D作DG∥BF，交AC于點G，
∵

AB

BC

=

BD

DC

=1，
∴BD=DC=

1

2

BC，AB=BC．
∵DG∥BF，
∴

FG

FC

=

BD

BC

=

1

2

，FC=2FG．
由（1）可得：AB²=AE•AD，BD²=DE•AD，
∴

AE

DE

=

AB2

BD2

=

(2BD)2

BD2

=4，
∵DG∥BF，
∴

AF

FG

=

AE

DE

=4，
∴

AF

FC

=

AF

2FG

=2．

（3）解：點D為直線BC上的動點（點D不與B、C重合），有三種情況：
（I）當點D在線段BC上時，如圖④所示：
過點D作DG∥BF，交AC邊于點G．
∵

AB

BC

=

BD

DC

=n，
∴BD=nDC，BC=（n+1）DC，AB=n（n+1）DC．
∵DG∥BF，
∴

FG

GC

=

BD

DC

=n，
∴FG=nGC，FG=

n

n+1

FC．
由（1）可得：AB²=AE•AD，BD²=DE•AD，
∴

AE

DE

=

AB2

BD2

=

[n(n+1)DC]2

(nDC)2

=（n+1）²；
∵DG∥BF，
∴

AF

FG

=

AE

DE

=（n+1）²，
即

AF

n n+1 FC

=（n+1）²，化簡得：

AF

FC

=n²+n；
（II）當點D在線段BC的延長線上時，如圖⑤所示：
過點D作DG∥BE，交AC邊的延長線于點G．
同理可求得：

AF

FC

=n²-n；
（III）當點D在線段CB的延長線上時，如圖⑥所示：
過點D作DG∥BF，交CA邊的延長線于點G．
同理可求得：

AF

FC

=n-n²．

點評：本題考查了射影定理的證明及應用．第（2）問中，利用了第（1）問中所證明的射影定理；在第（3）問中，將第（2）問的結論推廣到一般情形，體現了從特殊到一般的數學思想．題中涉及線段較多，比例關系比較復雜，注意認真計算不要出錯．第（2）問中提供了兩種解題方法，可以開拓思路；第（3）問中采用了第（2）問中的解法二，有興趣的同學可以探究應用方法一解決．