Question

如圖，直線y₁=2x與雙曲線相交于點A、E．另一直線y₃=x+b與雙曲線交于點A、B，與x、y軸分別交于點C、D．直線EB交x軸于點F．
（1）求A、B兩點的坐標，并比較線段OA、OB的長短；
（2）由函數圖象直接寫出函數y₂＞y₃＞y₁的自變量x的取值范圍；
（3）求證：△COD∽△CBF．

Answer 1

解：（1）由題意得：，
解得 ，或 ，
∴A（-2，-4），E（2，4），
將A坐標代入y₃=x+b中，得b=-2，即y₃=x-2，
聯立得：
解得：，
∴B（4，2）；
OA=，OB=，
∴AO=BO，

（2）∵A點坐標為（-2，-4），
∴結合圖象當x＜-2時，y₂＞y₃＞y₁；

（3）設直線EB的解析式為y=k₁x+b₁，直線AB的解析式為y=k₂x+b₂，
則有 ，，
解得：，
∵k₁•k₂=-1，
∴AB⊥EF，∴∠CBF=∠DOC=90°
∵∠OCD=∠BCF，
∴△DOC∽△CBF．
分析：（1）由于點A在直線y₁=2x與雙曲線上，解方程組 ，可得點A坐標，再將求出的解集即是B點坐標，再利用勾股定理求出AO與BO的長；
（2）結合圖象當x＜-2時，取同一值時，函數圖象在上面是就大，得出y₂＞y₃＞y₁；
（3）欲證△DOC∽△CBF，已有∠OCD=∠BCF，再有一角對應相等即可，求出直線AB、EB解析式，根據系數可判定他們垂直，即可得出解集．
點評：此題主要考查了函數交點坐標的求法以及相似三角形的判定和勾股定理的應用等知識，根據已知將函數解析式聯立求出公共解集是解題關鍵．