Question

直線y=x+a和拋物線y=x²+bx+c都經過A（1，0）、B（3，2）兩點，且不等式x+a＞x²+bx+c 的整數解為K，若關于x的方程x²-（m²+5）x+2m²+6=0的兩實根之差的絕對值為n，且n滿足n=2（K+1），求m的值．

Answer 1

分析：利用待定系數法首先求出兩函數的解析式，再結合圖象得出k的值，再利用根與系數的關系求出m的值．

解答：解：∵y=x+a和拋物線y=x²+bx+c都經過A（1，0）、B（3，2）兩點，
∴將A（1，0）代入y=x+a，
得：y=x-1，
將A（1，0）、B（3，2）兩點，代入拋物線y=x²+bx+c解析式得：

1+b+c=0 9+3b+c=2

，
解得：b=-3，c=2，
∴拋物線解析式為：y=x²-3x+2，
∵不等式x+a＞x²+bx+c 的整數解為K，
即：x-1＞x²-3x+2的解集，
結合兩圖象的交點坐標以及圖象即可得出解集，
1＜x＜3，
∴整數解為K為：2，
∵關于x的方程x²-（m²+5）x+2m²+6=0的兩實根之差的絕對值為n，且n滿足n=2（K+1），
∴n=2（K+1）=6，
∵|x₁-x₂|=6，
∴（x₁-x₂）²=36，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，
∴（m²+5）²-4（2m²+6）=36，
整理得：m⁴+2m²-35=0，
解得：m²=5或-7（不合題意舍去），
∴m=±

5

．

點評：此題主要考查了二次函數與一次函數綜合題目，利用函數圖象判斷函數值的大小問題以及利用根與系數的關系進行計算是解決問題的關鍵也是中考熱點題型．