Question

如圖，拋物線的頂點為H，與軸交于A、B兩點（B點在A點右側），點H、B關于直線：對稱，過點B作直線BK∥AH交直線于K點．　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線上；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）求此拋物線的解析式；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）將此拋物線向上平移，當拋物線經過K點時，設頂點為N，求出NK的長．

Answer 1

A（﹣3，0），B（1，0）；；

試題分析：1）依題意，得，  ………1分
解得，
∵B點在A點右側，
∴A點坐標為（﹣3，0），B點坐標為（1，0）．………2分
證明：∵直線：
當時，
∴點A在直線上．     ………3分
（２）∵點H、B關于過A點的直線：對稱， 
∴ ………4分
過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，
則，
∴頂點    ………5分
代入拋物線解析式，得
解得
∴拋物線解析式為  ………6分
（3）連結HK，可證得四邊形HABK是平行四邊形
∴HK∥AB,HK=AB
可求得K(3，2)，  ………８分
設向上平移K個單位，拋物線經過點K
∴+K
把K(3，2)代入得：K=8        ………９分
在Rt△NHK中，∵NK=8，HK="4" 由勾股定理得
NK的長是 
點評：在解題時要能靈運用二次函數的圖象和性質求出二次函數的解析式，利用數形結合思想解題是本題的關鍵．