Question

已知如圖拋物線l₁與x軸的交點的坐標為（-1，0）和（-5，0），與y軸的交點坐標為（0，2.5）．
（1）求拋物線l₁的解析式；
（2）拋物線l₂與拋物線l₁關于原點對稱，現有一身高為1.5米的人撐著傘與拋物線l₂的對稱軸重合，傘面弧AB與拋物線l₂重合，頭頂最高點C與傘的下沿AB在同一條直線上（如圖所示不考慮其他因素），如果雨滴下降的軌跡是沿著直線y=mx+b運動，那么不被淋到雨的m的取值范圍是多少？
（3）將傘的下沿AB沿著拋物線l₂對稱軸上升10厘米至A₁B₁，A₁B₁比AB長8厘米，拋物線l₂除頂點M不動外仍經過弧A₁B₁（其余條件不變），那么被雨淋到的幾率是擴大了還是縮小了，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖可得到拋物線l₁圖象上的三點坐標，利用待定系數法即可求得拋物線l₁的解析式；
（2）由于拋物線l₁、l₂關于原點對稱，那么它們的開口方向，頂點橫、縱坐標，與y軸交點坐標都互為相反數，而開口大小沒有變化（即二次項系數的絕對值），由此可求得拋物線l₂的解析式；已知了C點的縱坐標，將其代入拋物線的解析式l₂中，即可求得A、B的縱坐標；設拋物線對稱軸與x軸交于點N，根據A、B、N三點坐標，即可求得直線AN、BN的斜率，從而確定出m的取值范圍．
（3）此題只需比較∠A₁NB₁與∠ANB的度數關系，若∠A₁NB₁＞∠ANB，說明被淋到的幾率減小，反之則增大，可連接AN、A₁N₁，通過比較∠A₁NC、∠ANC的正確值的大小，來得到兩個角的大小關系，由此得解．

解答：解：（1）由于拋物線l₁經過（-1，0），（-5，0），（0，2.5），
設其解析式為：y=a（x+1）（x+5），則有：
a（0+1）（0+5）=2.5，即a=0.5；
∴拋物線l₁：y=0.5（x+1）（x+5）=0.5x²+3x+2.5．

（2）∵拋物線l₁：y=0.5（x+3）²-2，且拋物線l₁、l₂關于原點對稱，
∴拋物線l₂：y=-0.5（x-3）²+2=-0.5x²+3x-2.5；
當y=1.5時，-0.5x²+3x-2.5=1.5，
整理得：x²-6x+8=0，
解得x=2，x=4；
即A（2，1.5），B（4，1.5），M（3，2）；
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，則N（3，0）；
則直線AN的斜率：k₁=

0-1.5

3-2

=-1.5，
直線BN的斜率：k₂=

0-1.5

3-4

=1.5；
若要不被雨淋到，m的取值范圍為：-1.5＜m＜1.5．

（3）由題意知：tan∠A₁NC=

1.04

1.6

=

13

20

=

39

60

，
tan∠ANC=

1

1.5

=

2

3

=

40

60

；
故∠A₁NC＜∠ANC，∠A₁NB₁＜∠ANB，
所以被雨淋到的幾率增大了．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定以及函數圖象的幾何變換、一次函數斜率的確定、解直角三角形的應用等知識，此題結合實際問題來考查函數的實際應用，立意新穎，難度適中．