Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，四邊形OBHC為矩形，CH的延長線交拋物線于點D（5，2），連結BC、AD.

（1）求C點的坐標及拋物線的解析式；（6分）
（2）將△BCH繞點B按順時針旋轉90°后再沿x軸對折得到△BEF（點C與點E對應），判斷點E是否落在拋物線上，并說明理由；（4分）
（3）設過點E的直線交AB邊于點P，交CD邊于點Q.問是否存在點P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由. （4分）

Answer 1

（1）；（2）點E落在拋物線上，理由見解析；（3）（，0）或（，0）.

試題分析：（1）由于CD∥x軸，因此C，D兩點的縱坐標相同，那么C點的坐標就是（0，2），n=2，已知拋物線過D點，可將D的坐標代入拋物線的解析式中即可求出m的值，也就確定了拋物線的解析式；（2）由于旋轉翻折只是圖形的位置有變化，而大小不變，因此：△BCH≌△BEF，OC=BF，CH=EF．OC的長可以通過C點的坐標得出，求CH即OB的長，要先得出B點的坐標，可通過拋物線的解析式來求得．這樣可得出E點的坐標，然后代入拋物線的解析式即可判斷出E是否在拋物線上；（3）本題可先表示出直線PQ分梯形ABCD兩部分的各自的面積，首先要得出P，Q的坐標，可先設出P點的坐標如：（a，0），由于直線PQ過E點，因此可根據P，E的坐標用待定系數法表示出直線PQ的解析式，進而可求出Q點的坐標，這樣就能表示出BP，AP，CQ，DQ的長，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面積，然后分類進行討論：①梯形BPQC的面積：梯形APQD的面積=1：3，②梯形APQD的面積：梯形BPQC的面積=1：3，根據上述兩種不同的比例關系式，可求出各自的a的取值，也就能求出不同的P點的坐標，綜上所述可求出符合條件的P點的坐標．
試題解析：（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB.
又D（5，2），∴C（0，2），OC=2．
∴，解得.
∴拋物線的解析式為：.
（2）點E落在拋物線上，理由如下：
由y=0，得， 解得x₁=1，x₂="4." ∴A（4，0），B（1，0）. ∴OA=4，OB=1.
由矩形性質知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋轉、軸對稱性質知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴點E的坐標為（3，－1）.
把x=3代入，得，
∴點E在拋物線上.
（3）存在點P（a，0）. 記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.
當PQ經過點F（3，0）時，易求S₁=5，S₂ = 3，此時S₁∶S₂不符合條件，故a≠3.
設直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得.
∴直線PQ的解析式為.
由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） .
∴CQ = 3a－6，BP = a－1， .
下面分兩種情形：①當S₁∶S₂ = 1∶3時，，
∴4a－7=2，解得；
②當S₁∶S₂ =3∶1時，，
∴4a－7=6，解得；
綜上所述：所求點P的坐標為. （，0）或（，0）