Question

在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為“夢之點”，例如點（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“夢之點”，顯然，這樣的“夢之點”有無數個．
（1）若點P（2，m）是反比例函數y=（n為常數，n≠0）的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數的解析式；
（2）函數y=3kx+s﹣1（k，s是常數）的圖象上存在“夢之點”嗎？若存在，請求出“夢之點”的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若二次函數y=ax²+bx+1（a，b是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且滿足﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，令t=b²﹣2b+，試求出t的取值范圍．

Answer 1

（1）y=；（2）當k≠時，“夢之點”的坐標為（，）；當k=，s=1時，“夢之點”有無數個；當k=，s≠1時，不存在“夢之點”；（3）t＞．

解析試題分析：（1）先由“夢之點”的定義得出m=2，再將點P坐標代入y=，運用待定系數法即可求出反比例函數的解析式；
（2）假設函數y=3kx+s﹣1（k，s是常數）的圖象上存在“夢之點”（x，x），則有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三種情況進行討論即可；
（3）先將A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）代入y=ax²+bx+1，得到ax₁²+（b﹣1）x₁+1=0，ax₂²+（b﹣1）x₂+1=0，根據方程的解的定義可知x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b﹣1）x+1=0的兩個根，由根與系數的關系可得x₁+x₂=，x₁•x₂=，則（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂==4，整理得出b²﹣2b=（2a+1）²﹣2，則t=b²﹣2b+=（2a+1）²+．再由﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，得出﹣4＜x₂＜4，﹣8＜x₁•x₂＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式組得出a＞，進而求出t的取值范圍．
試題解析：（1）∵點P（2，m）是“夢之點”，
∴m=2，
∵點P（2，2）在反比例函數y=（n為常數，n≠0）的圖象上，
∴n=2×2=4，
∴反比例函數的解析式為y=；
（2）假設函數y=3kx+s﹣1（k，s是常數）的圖象上存在“夢之點”（x，x），
則有x=3kx+s﹣1，
整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，
當3k﹣1≠0，即k≠時，解得x=；
當3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1時，x有無窮多解；
當3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1時，x無解；
綜上所述，當k≠時，“夢之點”的坐標為（，）；當k=，s=1時，“夢之點”有無數個；當k=，s≠1時，不存在“夢之點”；
（3）∵二次函數y=ax²+bx+1（a，b是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
∴x₁=ax₁²+bx₁+1，x₂=ax₂²+bx₂+1，
∴ax₁²+（b﹣1）x₁+1=0，ax₂²+（b﹣1）x₂+1=0，
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+（b﹣1）x+1=0的兩個不等實根，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂=（）²﹣4×==4，
∴b²﹣2b=4a²+4a﹣1=（2a+1）²﹣2，
∴t=b²﹣2b+=（2a+1）²﹣2+=（2a+1）²+．
∵﹣2＜x₁＜2，|x₁﹣x₂|=2，
∴﹣4＜x₂＜0或0＜x₂＜4，
∴﹣4＜x₂＜4，
∴﹣8＜x₁•x₂＜8，
∴﹣8＜＜8，
∵a＞0，
∴a＞
∴（2a+1）²+＞+=，
∴t＞．
考點：二次函數綜合題．