Question

（2013•嘉興）如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E，F分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點E出發沿直線向點F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當小球P第一次碰到點E時，小球P與正方形的邊碰撞的次數為

6

，小球P所經過的路程為

6

5

．

Answer 1

分析：根據已知中的點E，F的位置，可知入射角的正切值為

1

2

，通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數．再由勾股定理就可以求出小球經過的路徑的總長度．

解答：解：根據已知中的點E，F的位置，可知入射角的正切值為

1

2

，第一次碰撞點為F，在反射的過程中，根據入射角等于反射角及平行關系的三角形的相似可得第二次碰撞點為G，在DA上，且DG=

1

6

DA，第三次碰撞點為H，在DC上，且DH=

1

3

DC，第四次碰撞點為M，在CB上，且CM=

1

3

BC，第五次碰撞點為N，在DA上，且AN=

1

6

AD，第六次回到E點，AE=

1

3

AB．
由勾股定理可以得出EF=

5

，FG=

3

2

5

，GH=

1

2

5

，HM=

5

，MN=

3

2

5

，NE=

1

2

5

，
故小球經過的路程為：

5

+

3

2

5

+

1

2

5

+

5

+

3

2

5

+

1

2

5

=6

5

，
故答案為：6，6

5

．

點評：本題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用．通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數，由勾股定理來確定小球經過的路程，是一道學科綜合試題，屬于難題．