Question

（本題滿分14分，其中第（1）、（2）小題各4分，第（3）小題6分）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數的圖像經過點A（-1,1）和點B（2,2），該函數圖像的對稱軸與直線OA、OB分別交于點C和點D．

1.（1）求這個二次函數的解析式和它的對稱軸；

2.（2）求證：∠ABO=∠CBO；

3.（3）如果點P在直線AB上，且△POB

與△BCD相似，求點P的坐標．

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）解：由題意，得………………………………………（1分）

解得………………………………………………………………（1分）

∴所求二次函數的解析式為．……………………（1分）

對稱軸為直線x=1．

2.（2）證明：由直線OA的表達式y=-x，得點C的坐標為（1,-1）．…………（1分）

∵，，∴AB=BC．…………………………………（1分）

又∵，，∴OA=OC．………………………………（1分）

∴∠ABO=∠CBO．

3.（3）解：由直線OB的表達式y=x，得點D的坐標為（1,1）．………………（1分）

由直線AB的表達式，

得直線與x軸的交點E的坐標為（-4,0）．………………………………（1分）

∵△POB與△BCD相似，∠ABO=∠CBO，

∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．

（i）當∠BOP=∠BDC時，由∠BDC==135°，得∠BOP=135°．

∴點P不但在直線AB上，而且也在x軸上，即點P與點E重合．

∴點P的坐標為（-4,0）．…………………………………………………（2分）

（ii）當∠BOP=∠BCD時，

由△POB∽△BCD，得．

而，，，∴．

又∵，∴．

作PH⊥x軸，垂足為點H，BF⊥x軸，垂足為點F．

∵PH∥BF，∴．

而BF=2，EF=6，∴，．

∴．

∴點P的坐標為（,）．………………………………………………（2分）

綜上所述，點P的坐標為（-4,0）或（,）

【解析】略