Question

已知：拋物線與x軸的兩個交點分別為A（1，0）和B（3，0），與y軸交于點C.

（1）求此二次函數的解析式；
（2）寫出點C的坐標________，頂點D的坐標為__________；
（3）將直線CD沿y軸向下平移3個單位長度，求平移后直線m的解析式；
（4）在直線m上是否存在一點E，使得以點E、A、B、C為頂點的四邊形是梯形，如果存在，請直接寫出所有滿足條件的E點的坐標__________________________________（不必寫出過程）．

Answer 1

（2）；（2）（0，3），（2，-1）；（3）；（4）（-1，2）或（-1.5，3）

試題分析：（1）由拋物線過點A（1，0）和B（3，0）根據待定系數法列方程組求解即可；
（2）根據（1）中求得的函數解析式結合二次函數的性質求解即可；
（3）先設CD：，由點C、D的坐標根據待定系數法即可求得直線CD的解析式，再根據直線的平移規律：上加下減，即可求得結果；
（4）根據梯形的對邊平行再結合一次函數的性質求解即可.
試題解析：（1）∵拋物線過點A（1，0）和B（3，0）
∴，解得
∴此二次函數的解析式為；
（2）在中，當x=0時，y=3，所以點C的坐標為（0，3）
因為，所以頂點D的坐標為（2，-1）；
（3）設CD：
∵圖象過點（0，3），（2，-1）
∴，解得
∴CD：,沿y軸向下平移3個單位長度后直線m的解析式為；
（4）（-1，2）或（-1.5，3）.