Question

已知：關于的一元二次方程．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）設上述方程的兩個實數根分別為x₁、x₂，求：當取哪些整數時，x₁、x₂均為整數；
（3）設上述方程的兩個實數根分別為x₁、x₂，若，求k的值．

Answer 1

(1)k≠0;(2)k=±1或者k=±2；(3) .

試題分析：(1)一元二次方程存在的條件是二次項系數不為零，根據題意，kx²+2x+2-k=0是關于x的一元二次方程，所以k≠0;(2)根據求根公式，可以將方程的解求出來，，，，要使得方程的根為整數，只要要求是整數即可，進而只要要求為整數，k是2的因數，所以k=±1或者k=±2；(3)方法一：由（2）可以得到 ，，所以，分類討論，①當時，此方程無解；②當時，解得；方法二：可以根據根與系數關系，進行求解，具體詳見解析.
試題解析：(1) ∵方程是關于x的一元二次方程,
∴實數k的取值范圍是k≠0.
(2)△= b²-4ac=4-4k（2-k）=k²-2k+1=（k-1）² ,
由求根公式，得,
∴，,
∵要求兩個實數根x₁、x₂是整數，
∴為整數，即是整數，
∴k是2的因數， k=±1或者k=±2.
(3)方法一：由（2）可以得到 ，，
∴，分類討論:
①當時，此方程無解；
②當時，解得；
方法二：根據題意，,兩邊平方，有,
整理得，
由根與系數的關系，，
∴，
整理，得8k-4=0，k=.