Question

如圖，在梯形紙片ABCD中，BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2，過點B作BH⊥AD與H,BC=BH=2.動點從點出發，以每秒1個單位的速度沿運動到點停止，在運動過程中，過點作交折線于點，將紙片沿直線折疊，點、的對應點分別是點、。設點運動的時間是秒（）。
（1）當點和點重合時，求運動時間的值；
（2）在整個運動過程中，設或四邊形與梯形重疊部分面積為，請直接寫出與之間的函數關系式和相應自變量的取值范圍；
（3）平移線段，交線段于點，交線段。在直線上存在點，使為等腰直角三角形。請求出線段的所有可能的長度。

Answer 1

解：（1）t＋1， 

△PMN的邊長MN＝CN－CM＝CD＋DN－CM＝1＋2t－t＝t＋1.
當點P落在AB上時，過P作PE⊥MN于E.則CE＝CM＋ME＝t＋＝
∴BE＝6－＝.∵等邊△PMN，MN＝t＋1,
∴PE＝PN·sin60°＝MN·sin60°＝(t＋1).
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6.∴AC＝BC·tan30°＝.
∵∠PEB＝∠ACB＝90°，∠PBE＝∠ABC.∴△PBE∽△ABC，∴＝.
即＝，解得t＝
（2）當0＜t≤時，△PMN在△ABC內部.

∴S＝×(t＋1)×(t＋1)＝(t＋1)²
點N從點D運動到與點B重合所需時間為：＝（秒）
當＜t＜時，△PMN與△ABC重疊部分為四邊形EFNM.

∵∠PNM＝60°，∠ABC＝30°,∴∠NFB＝∠ABC＝30°.∴NF＝NB＝6－(2t＋1)＝5－2t
∴PF＝(t＋1)－(5－2t)＝3t－4,∵∠NFB＝30°，∴∠PFE＝30°.
∵∠P＝60°，∴∠PEF＝90°,∴PE＝PF＝(3t－4)，EF＝PF＝(3t－4).
∴S_△PEF ＝EF·PE＝(3t－4)²
∴S＝S_△PMN －S_△PEF ＝(t＋1)²－(3t－4)²
＝－t²＋t－.
當≤t＜6時，△PMN與△ABC重疊部分為△GMB.在Rt△GMB中，∠GBM＝30°，MB＝6－t.
∴GM＝MB＝(6－t)，GB＝MB＝(6－t)
∴S＝GM·GB＝(6－t)²當t≥6時，S＝0.
（3）

（1）綜合運用梯形、直角三角形、軸對稱的性質、三角形相似等知識，建立線段之間的等量關系；
（2）運用分類討論的思想，找到重疊部分面積與之間的函數關系；
（3）分類討論等腰三角形PGI的直角頂點.