Question

（2012•東莞模擬）閱讀理解題：定義：如果一個數的平方等于-1，記為i²=-1，這個數i叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，表示為a+bi（a，b為實數），a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．
例如計算：
（1）（5+i）（3-4i）=5×3+5×（-4i）+3i-4i²=15-20i+3i-4×（-1）=19-17i
（2）（5+i）（5-i）=5²-i²=25-（-1）=26
解答下面問題：
（1）化簡：i³=

-i

，i⁴=

1

；
（2）計算：（3+i）²；
（3）試一試：將

2+i

2-i

化簡成a+bi的形式．

Answer 1

分析：（1）根據i²=-1把i³化為i²•i，把i⁴化為i²•i²進行計算即可；
（2）根據完全平方公式進行計算即可；
（3）根據平方差公式把原式化為

(2+i)2

(2-i)(2+i)

的形式進行計算即可．

解答：解：（1）∵i²=-1，
∴i³=i²•i=-i；i⁴=i²•i²=（-1）×（-1）=1；
故答案為：-i，1；

（2）原式=（3+i）²
=9+i²+6i
=9-1+6i
=8+6i；

（3）原式=

(2+i)2

(2-i)(2+i)

=

4+i2+4i

4-i2

=

4-1+4i

4+1

=

3+4i

5

．

點評：本題考查的是實數的運算，在解答此題時要注意平方差公式及完全平方公式的靈活運用．