Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數（a，b是常數）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．動直線y=t（t為常數）與拋物線交于不同的兩點P、Q．

（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范圍；
（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

Answer 1

（1）
（2）t＞﹣4
（3）t=﹣2

分析：（1）將點A、點B的坐標代入二次函數解析式可求出a、b的值。
（2）根據二次函數及y=t，可得出方程，有兩個交點，可得△＞0，求解t的范圍即可。
（3）證明△PDC∽△CDQ，利用相似三角形的對應邊成比例，可求出t的值。
解：（1）將點A、點B的坐標代入可得：，解得：。
（2）拋物線的解析式為，直線y=t，
聯立兩解析式可得：x²+2x﹣3=t，即x²+2x﹣（3+t）=0，
∵動直線y=t（t為常數）與拋物線交于不同的兩點，
∴△=4+4（3+t）＞0，解得：t＞﹣4。
（3）∵y=x²+2x﹣3=（x+1）²﹣4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1。
當x=0時，y=﹣3，∴C（0，﹣3）。
設點Q的坐標為（m，t），則P（﹣2﹣m，t）。
如圖，設PQ與y軸交于點D，

則CD=t+3，DQ=m，DP=m+2。
∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，∴∠QCD=∠DPC。
又∠PDC=∠QDC=90°，∴△QCD∽△CDP。∴，即。
整理得：t²+6t+9=m²+2m。
∵Q（m，t）在拋物線上，∴t=m²+2m﹣3，即m²+2m=t+3。
∴t²+6t+9=t+3，化簡得：t²+5t+6=0，解得t=﹣2或t=﹣3。
當t=﹣3時，動直線y=t經過點C，故不合題意，舍去。
∴t=﹣2。