Question

如圖1，矩形MNPQ中，點E，F，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且AB=4，BC=8．


（1）理解與作圖：在圖2，圖3中，點E，F分別在BC，CD邊上，試利用正方形網格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．
（2）計算與猜想：求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值？
（3）啟發與證明：如圖4，為了證明上述猜想，小華同學嘗試延長GF交BC的延長線于M，試利用小華同學給我們的啟發證明（2）中的猜想．

Answer 1

（1）作圖如下：

（2）四邊形EFGH的周長為，四邊形EFGH的周長也為。
猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值。
（3）通過延長GH交CB的延長線于點N，求得，得出矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值。

解析試題分析：解：（1）作圖如下：

（2）在圖2中， ，
∴四邊形EFGH的周長為。
在圖3中，，，
∴四邊形EFGH的周長為。
猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值。
（3）延長GH交CB的延長線于點N，

∵，，
∴。
又∵FC=FC，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。
∴EF=MF，EC=MC。
同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。
∵，，，∴。
∴GM=GN。
過點G作GK⊥BC于K，則。
∴。
∴四邊形EFGH的周長為。∴矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值
考點：網格問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的判定和性質。
點評：新定義問題，利用網格問題構造圖形，難度中等，關鍵在于考生能夠準確理解題意，化繁為簡，利用所學知識解決問題。