Question

如圖，拋物線與直線交于C，D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為。點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作軸于點E，交CD于點F.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由。
（3）若存在點P，使，請直接寫出相應的點P的坐標

Answer 1

（1）；（2）當m=1或2或時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形，理由見解析；（3）P（）或（）.

試題分析：（1）由直線經過點C，求出點C的坐標；由拋物線經過點C，D兩點，用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）因為PF∥CO，所以當PF=CO時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形，分和兩種情況討論即可；（3）如圖，當點P在CD上方且∠PCF=45⁰時，作PM⊥CD于點M，CN⊥PF于點N，則△PMF∽△CNF，∴，∴PM=CM=2CF，∴，又∵，∴，解得：，（舍去），∴P（），當點P在CD下方且∠PCF=45⁰時，同理可以求得：另外一點為P（）.

試題解析：（1）∵直線經過點C，∴C（0，2）.
∵拋物線經過點C（0，2），D ，
∴，解得.
∴拋物線的解析式為.
（2）∵點P的橫坐標為m且在拋物線上， ∴.
∵PF∥CO，∴當PF=CO時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形.
當時，，
∴，解得：.
即當m=1或2時，四邊形OCPF是平行四邊形.
當時，，
∴，解得：（∵點P在y軸右側的拋物線上，∴舍去）.
即當時，四邊形OCFP是平行四邊形.
綜上所述，當m=1或2或時，以O，C，P，F為頂點的四邊形是平行四邊形.
（3）P（）或（）.