Question

（本題滿分14分，其中第（1）題4分，第（2）題的第?、?小題分別為4分、6分）
如圖1，在△ABC中，已知AB=15，cosB=，tanC=．點D為邊BC上的動點（點D不與B、C重合），以D為圓心，BD為半徑的⊙D交邊AB于點E．

（1）設BD=x，AE=y，求與的函數關系式，并寫出函數定域義；
（2）如圖2，點F為邊AC上的動點，且滿足BD=CF，聯結DF．
①當△ABC和△FDC相似時，求⊙D的半徑；
② 當⊙D與以點F為圓心，FC為半徑⊙F外切時，求⊙D的半徑．

Answer 1

（1）y=-x+15  定義域0﹤x≦.(2)①⊙D的半徑為或，②⊙D的半徑為。

解析試題分析：解：（1）過點D作DG⊥BE，垂足為E
∵DG過圓心，∴BE=2BG     （1分）
在Rt△DGB中，cosB=，∵BD=x，∴BG=　    （1分）
∴BE=，∵AB=15，∴y=15-     （1分）
定義域為0<x≤　     （1分）
（2）①過點A作AH⊥BC，垂足為H
在Rt△ADH中，cosB=
∵AB=15，∴BH=9，∴AH=12     （1分）
在Rt△AHC中，tanC=
∴HC=5，∴BC=14         （1分）
設BD=x，則CF=，DC=14-x
∵∠C=∠C，∴當△ABC和△FDC相似時，有
（ⅰ），即，x=，∴BD=     （1分）
（ⅱ），即，x=，∴BD=    （1分）
∴當△ABC和△FDC相似時，⊙D的半徑為或
②過點F作FM⊥BC，垂足為M
在Rt△FMC中，tanC=    （1分）
∴sinC=，∵CF=，∴FM=，MC=    （1分）
∴DM=14-x-=14-        （1分）
∴DF=   （1分）
∵⊙D與⊙F外切，∴DF=    （1分）
∴=，解得x₁=，x₂=(舍去)
即BD=    （1分）
∴當⊙D與⊙F外切時，⊙D的半徑為．
考點：一次函數的定義，相似三角形的定義及性質，切線定理，三角函數定義。
點評：本題綜合性很強，涉及到的概念性質定理很多，計算又多，很容易出錯，相關的知識點錯綜復雜，還有動點的問題，對學生的要求極高，要善于領會已知條件，及圖像的變換過程，把握住已知條件，從基礎入手，逐步的進行解答。題中說的定義域即是函數中自變量x的取值范圍，本題屬于難題，中考時一般以大題的形式出現。