Question

已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個頂點C在x軸的正半軸上．關于y軸對稱的拋物線y＝ax²＋bx＋c經過A、D(3，－2)、P三點，且點P關于直線AC的對稱點在x軸上．

(1)求直線BC的解析式；
(2)求拋物線y＝ax²＋bx＋c的解析式及點P的坐標；
(3)設M是y軸上的一個動點，求PM＋CM的取值范圍．

Answer 1

（1）（2），，．（3），當點的坐標是時，，當點的坐標是時，

解：（1），，，
是等腰三角形，且點在軸的正半軸上，，
．．
設直線的解析式為，，．
直線的解析式為．····················· 4分
（2）拋物線關于軸對稱，．············ 5分

又拋物線經過，兩點．
解得
拋物線的解析式是．······· 7分
在中，，易得．
在中，，，易得．
是的角平分線．
直線與軸關于直線對稱．
點關于直線的對稱點在軸上，則符合條件的點就是直線與拋物線的交點． 8分
點在直線：上，
故設點的坐標是．
又點在拋物線上，
．解得，．
故所求的點的坐標是，．··············· 10分
（3）要求的取值范圍，可先求的最小值．
I）當點的坐標是時，點與點重合，故．
顯然的最小值就是點到軸的距離為，
點是軸上的動點，無最大值，．···· 13分
II）當點的坐標是時，由點關于軸的對稱點，故只要求的最小值，顯然線段最短．易求得．
的最小值是6．
同理沒有最大值，的取值范圍是．
綜上所述，當點的坐標是時，，
當點的坐標是時， ．··············· 15分
（1）設直線解析式為，用待定系數法，由勾股定理得到點，而，把它們代入即可
　　　（2）關于對稱，則對稱軸，再把點的坐標代入即可；由于點P關于直線AC的對稱點在x軸上，利用直角三角形三角函數，得出直線與軸關于直線對稱，則符合條件的點就是直線與拋物線的交點，把與組成方程組，求方程組的解即可
（3）要求范圍，要求邊界值，即求PM＋CM的最小值和最大值，當點的坐標是時，則，故最小值為，但沒有最大值，故；當
點的坐標是時，把點和點分到軸的兩側，兩點間連線最短，連線與軸的交點就點，的最小值是，同樣沒有最大值，故