Question

已知正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別是OB、OC上的動點，
（1）如果動點E、F滿足BE=CF（如圖1）：
①寫出所有以點E或F為頂點的全等三角形（不得添加輔助線）；
②證明：AE⊥BF；
（2）如果動點E、F滿足BE=OF（如圖2），問當AE⊥BF時，點E在什么位置，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）①根據正方形性質及BE=CF即可得出全等的三角形，②根據全等三角形及正方形的性質即可得出結論，
（2）根據正方形性質及已知條件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根據三角形相似的性質即可得出答案．

解答：解：（1）延長AE交BF于點M．
①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；
②證明：根據正方形的性質，
在△BAE和△CBF中，
∵

AB=BC ∠ABE=∠BCF=45° BE=CF

，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
根據外角性質，∠AFB=∠BCF+∠CBF=45°+∠CBF，
又∵∠FAM=45°-∠BAE，
∴∠AMF=180°-（∠FAM+∠AFM）=180°-（45°+∠CBF+45°-∠BAE）=90°，
∴AE⊥BF；

（2）當AE⊥BF時，點E在BO中點．證明如下：
延長AE交BF于點M，如圖所示：
∵∠BME=∠AOE，∠BEM=∠AEO，
∴△BEM∽△AEO，
∴

BE

AE

=

EM

EO

=

BM

AO

，
即AO=

AE•BM

BE

=

EO•BM

EM

，
∵∠MBE=∠OBF，∠BME=∠BOF，
∴△BEM∽△BFO，
∴

BM

BO

=

BE

BF

=

EM

FO

，
即BO=

BM•BF

BE

=

BE•OF

EM

，
∵AO=BO，BE=OF，
∴BE=EO，
故當AE⊥BF時，點E在BO中點．

點評：本題主要考查了全等三角形的性質、正方形的性質，相似三角形的判定及性質，比較綜合，難度較大．