Question

為了改善市民的生活環境,我市在某河濱空地處修建一個如圖所示的休閑文化廣場．在Rt△內修建矩形水池,使頂點、在斜邊上,、分別在直角邊、上;又分別以、、為直徑作半圓,它們交出兩彎新月（圖中陰影部分）,兩彎新月部分栽植花草;其余空地鋪設地磚．其中,．設米,米．

（1）求與之間的函數解析式;
（2）當為何值時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積,并求當為何值時,矩形的面積等于兩彎新月面積的?

Answer 1

（1）y與x之間的函數解析式為y=24﹣x（0＜x＜18）;
（2）當x=9米時,矩形DEFG的面積最大,最大面積是108平方米;
（3）當x為（9±3）米時,矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的．

試題分析:（1）先解Rt△ABC,得出AC=12米,BC=36米,∠ABC=30°,再根據三角函數的定義求出AD=x,BE=x,然后根據AD+DE+BE=AB,列出y與x之間的關系式,進而求解即可;
（2）先根據矩形的面積公式得出DEFG的面積=xy,再將（1）中求出的y=24﹣x代入,得出矩形DEFG的面積=xy=﹣x²+24x,然后利用配方法寫成頂點式,根據二次函數的性質即可求解;
（3）先證明兩彎新月的面積=△ABC的面積,再根據三角形的面積公式求出兩彎新月的面積,然后根據矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的列出關于x的一元二次方程,解方程即可求解．
試題解析:（1）在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=24米,∠BAC=60°,
∴AC=AB=12米,BC=AC=36米,∠ABC=30°,
∴AD==x,BE==x,
∵AD+DE+BE=AB,
∴x+y+x=24,
∴y=24﹣x﹣x=24﹣x,
即y與x之間的函數解析式為y=24﹣x（0＜x＜18）;
（2）∵y=24﹣x,
∴矩形DEFG的面積=xy=x（24﹣x）=﹣x²+24x=﹣（x﹣9）²+108,
∴當x=9米時,矩形DEFG的面積最大,最大面積是108平方米;
（3）記AC、BC、AB為直徑的半圓面積分別為S₁、S₂、S₃,兩彎新月面積為S,
則S₁=πAC²,S₂=πBC²,S₃=πAB²,
∵AC²+BC²=AB²,
∴S₁+S₂=S₃,
∴S₁+S₂﹣S=S₃﹣S_△ABC,
∴S=S_△ABC,
∴兩彎新月的面積S=AC•BC=×12×36=216（平方米）．
如果矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的,
那么﹣（x﹣9）²+108=×216,
化簡整理,得（x﹣9）²=27,
解得x=9±3,符合題意．
所以當x為（9±3）米時,矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的．
考點:二次函數的應用．