Question

兩個直角邊為6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如圖一所示的位置放置，點O與E重合．
（1）Rt△AOB固定不動，Rt△CED沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，當點E運動到與點B重合時停止，設運動x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重疊部分面積為y，求y與x之間的函數關系式；
（2）當Rt△CED以（1）中的速度和方向運動，運動時間x=2秒時，Rt△CED運動到如圖二所示的位置，若拋物線y=x²+bx+c過點A，G，求拋物線的解析式；
（3）現有一動點P在（2）中的拋物線上運動，試問點P在運動過程中是否存在點P到x軸或y軸的距離為2的情況？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=x²（0≤x≤3）；（2）y=x²﹣x+3．（3）符合條件的點P有兩個，分別是P₁（2，2），P₂（﹣2，6）．

解析試題分析：（1）根據題意，得重疊部分是等腰直角三角形．根據運動的路程=速度×時間=2x．再根據等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，即可進一步求得等腰直角三角形的面積；
（2）只需求得點A和點G的坐標．根據等腰直角三角形的兩條直角邊的長即可寫出點A的坐標，根據運動的路程=速度×時間，得到OE=4，再進一步根據等腰直角三角形的性質求得G（2，2），然后根據待定系數法代入求解；
（3）根據題意，應考慮兩種情況．若點P到y軸的距離是2，即點的橫坐標是±2；當點P到x軸的距離是2，即點的縱坐標是±2．
試題解析：（1）①由題意知重疊部分是等腰直角三角形，作GH⊥OE．

∴OE=2x，GH=x，
∵y=OE•GH=•2x•x=x²（0≤x≤3）
（2）A（6，6）
當x=2時，OE=2×2=4．
∴OH=2，HG=2，
∴G（2，2）．

∴解得：
∴y=x²﹣x+3．
（3）設P（m，n）．
當點P到y軸的距離為2時，
有|m|=2，
∴|m|=2．當m=2時，得n=2，
當m=﹣2時，得n=6．
當點P到x軸的距離為2時，有|n|=2．
∵y=x²﹣x+3
=（x﹣2）²+2＞0
∴n=2．當n=2時，得m=2．
綜上所述，符合條件的點P有兩個，分別是P₁（2，2），P₂（﹣2，6）．
考點：二次函數綜合題．