Question

某公司銷售一種進價為20元/個的計算機，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：

價格x（元/個）	…	30	40	50	60	…
銷售量y（萬個）	…	5	4	3	2	…

同時，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元．
（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數的有關知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數解析式．
（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬個）與銷售價格x（元/個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？
（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？

Answer 1

解：（1）根據表格中數據可得出：y與x是一次函數關系，設解析式為：y=ax+b，
則，解得：。
∴函數解析式為：y=x+8。
（2）根據題意得：
z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（x+8）﹣40=x²+10x﹣200=（x²﹣100x）﹣200
= [（x﹣50）²﹣2500]﹣200=（x﹣50）²+50，
∵＜0，∴x=50，z_最大=50。
∴該公司銷售這種計算器的凈得利潤z與銷售價格x）的函數解析式為z=x²+10x﹣200，銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元。
（3）當公司要求凈得利潤為40萬元時，即（x﹣50）²+50=40，解得：x₁=40，x₂=60。
作函數圖象的草圖，

通過觀察函數y=（x﹣50）²+50的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：40≤x≤60．
而y與x的函數關系式為：y=x+8，y隨x的增大而減少，
∴若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為40元/個。

解析試題分析：（1）根據數據得出y與x是一次函數關系，進而利用待定系數法求一次函數解析式。
（2）根據z=（x﹣20）y﹣40得出z與x的函數關系式，應用二次函數最值原理求解即可。
（3）首先求出40=（x﹣50）²+50時x的值，從而二次函數的性質根據得出x（元/個）的取值范圍，結合一次函數的性質即可求得結果。