Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點D，頂點為M，且DM=OC+OD．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設點P（x，y）是第一象限內該拋物線上的一個動點，△PCD的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若經過點P的直線PE與y軸交于點E，是否存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等？若存在，請求出直線PE的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6。
∴頂點M坐標為（2，6）。
設拋物線解析式為：y=a（x﹣2）²+6，
∵點C（0，4）在拋物線上，∴4=4a+6，解得a=。
∴拋物線的解析式為：y=（x﹣2）²+6=x²+2x+4。
（2）如答圖1，過點P作PE⊥x軸于點E．

∵P（x，y），且點P在第一象限，∴PE=y，OE=x。
∴DE=OE﹣OD=x﹣2．
∴S=S_梯形PEOC﹣S_△COD﹣S_△PDE=（4+y）•x﹣×2×4﹣（x﹣2）•y=y+2x﹣4。
將y=x²+2x+4代入上式得：S=x²+2x+4+2x﹣4=x²+4x。
在拋物線解析式y=x²+2x+4中，令y=0，即x²+2x+4=0，解得x=2±．
設拋物線與x軸交于點A、B，則B（2+，0）。
∴0＜x＜2+．
∴S關于x的函數關系式為：S=x²+4x（0＜x＜2+）。
（3）存在。若以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，可能有以下情形：
①OD=OP。
由圖象可知，OP最小值為4，即OP≠OD，故此種情形不存在。
②OD=OE。
若點E在y軸正半軸上，如答圖2所示，此時△OPD≌△OPE。

∴∠OPD=∠OPE，即點P在第一象限的角平分線上。
∴直線PE的解析式為：y=x。
若點E在y軸負半軸上，易知此種情形下，兩個三角形不可能全等，故不存在。
③OD=PE。
∵OD=2，∴第一象限內對稱軸右側的點到y軸的距離均大于2。
∴點P只能位于對稱軸左側或與頂點M重合。
若點P位于第一象限內拋物線對稱軸的左側，易知△OPE為鈍角三角形，而△OPD為銳角三角形，則不可能全等。
若點P與點M重合，如答圖3所示，此時△OPD≌OPE，四邊形PDOE為矩形。

∴直線PE的解析式為：y=6。
綜上所述，存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，直線PE的解析式為y=x或y=6。

解析試題分析：（1）首先求出點M的坐標，然后利用頂點式和待定系數法求出拋物線的解析式。
（2）如答圖1所示，作輔助線構造梯形，利用S=S_梯形PEOC﹣S_△COD﹣S_△PDE求出S關于x的表達式；求出拋物線與x軸正半軸的交點坐標，得到自變量的取值范圍。
（3）由于三角形的各邊，只有OD=2是確定長度的，因此可以以OD為基準進行分類討論：
①OD=OP，因為第一象限內點P到原點的距離均大于4，因此OP≠OD，此種情形排除。
②OD=OE．分析可知，只有如答圖2所示的情形成立。
③OD=PE．分析可知，只有如答圖3所示的情形成立。