Question

如圖，已知拋物線與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C．
（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；
（2）若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標；
（3）設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A點坐標為（4，0），D點坐標為（﹣2，0），C點坐標為（0，﹣3）；
（2）M點坐標為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；
（3）結論：在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形；點P的坐標為（﹣2，0）或（6，6）．

試題分析：(1)令Y=0,X=0就可以得到
根據已知先求得對稱軸,由于△MAD的面積與△CAD的面積相等,所以有兩種情況,一種是點M在X軸下方,此時點M與點C關于對稱軸對稱,另一種是點M在X軸上方,由于面積相等,而AD是兩個三角形公用的,所以可知點M的縱坐標為3,將Y=3代入解析式就可求得.
分情況討論,一種是BC、AP為底，此時P點與D點重合；一種是AB、CP為底，此時要先求出AB所在直線的解析式，然后根據互相平行的兩直線的K值相等，求出CP的解析式，與二次函數的解析式聯立，得到方程組，求解即可得到。
試題解析：（1）∵y=x²﹣x﹣3，∴當y=0時，x²﹣x﹣3=0，
解得x₁=﹣2，x₂=4．當x=0，y=﹣3．
∴A點坐標為（4，0），D點坐標為（﹣2，0），C點坐標為（0，﹣3）；
（2）∵y=x²﹣x﹣3，∴對稱軸為直線x==1．
∵AD在x軸上，點M在拋物線上，
∴當△MAD的面積與△CAD的面積相等時，分兩種情況：
①點M在x軸下方時，根據拋物線的對稱性，可知點M與點C關于直線x=1對稱，
∵C點坐標為（0，﹣3），∴M點坐標為（2，﹣3）；
②點M在x軸上方時，根據三角形的等面積法，可知M點到x軸的距離等于點C到x軸的距離3．當y=3時，x²﹣x﹣3=3，解得x₁=1+，x₂=1﹣，
∴M點坐標為（1+，3）或（1﹣，3）．
綜上所述，所求M點坐標為（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；
（3）結論：存在．

如圖所示，在拋物線上有兩個點P滿足題意：
①若BC∥AP₁，此時梯形為ABCP₁．
由點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B，可知BC∥x軸，則P₁與D點重合，
∴P₁（﹣2，0）．∵P₁A=6，BC=2，∴P₁A≠BC，∴四邊形ABCP₁為梯形；
②若AB∥CP₂，此時梯形為ABCP₂．
∵A點坐標為（4，0），B點坐標為（2，﹣3），∴直線AB的解析式為y=x﹣6，
∴可設直線CP₂的解析式為y=x+n，將C點坐標（0，﹣3）代入，得b=﹣3，
∴直線CP₂的解析式為y=x﹣3．∵點P₂在拋物線y=x²﹣x﹣3上，
∴x²﹣x﹣3=x﹣3，化簡得：x²﹣6x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=6，
∴點P₂橫坐標為6，代入直線CP₂解析式求得縱坐標為6，∴P₂（6，6）．
∵AB∥CP₂，AB≠CP₂，∴四邊形ABCP₂為梯形．
綜上所述，在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形；點P的坐標為（﹣2，0）或（6，6）．