Question

如圖，是一塊直角邊長為2cm的等腰直角三角形的硬紙板，在其內部裁剪下一個如圖1的正方形，設得到的剩余部分的面積為S₁；再分別從剩下的兩個三角形內用同樣的方式裁剪下兩個正方形，如圖2，設所得到的剩余部分的面積為S₂；再分別從剩余的四個三角形內用同樣的方式裁剪下四個正方形，如圖3，設所得到的剩余部分的面積為S₃；…，如此下去，第n個裁剪后得到的剩余部分面積S_n=

1

2n-1

cm²．

Answer 1

分析：先判斷出剪下正方形后剩余的小三角形是等腰直角三角形，然后求出剪下的正方形的邊長，求出剩余部分的面積等于原等腰直角三角形的面積的一半，同理可得每次剪下一個小正方形剩余部分的面積等于等腰直角三角形的面積的一半，然后依次求解，根據指數的變化規律寫出S_n即可．

解答：解：由題意得，剪下剩下的三角形是等腰直角三角形，
∵剪下的是正方形，
∴剪下的正方形的邊長為2×

1

2

=1，
剩余部分的面積=

1

2

×2²-

1

2

×1²×2=2-1=1，
即剩余部分的面積等于原等腰直角三角形的面積的一半，
同理，每次剪下正方形后剩余部分的面積等于正方形所在的等腰直角三角形的面積的一半，
∵原等腰直角三角形的面積=

1

2

×2²=2，
∴S₁=2×

1

2

，
S₂=

1

2

S₁=2×

1

2

×

1

2

=2×（

1

2

）²，
S₃=

1

2

S₂=

1

2

×2×（

1

2

）²=2×（

1

2

）³，
…，
第n個裁剪后得到的剩余部分面積S_n=2×（

1

2

）ⁿ=

1

2n-1

cm²．
故答案為：

1

2n-1

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，正方形的性質，判斷出減去一個正方形后剩余部分的面積等于原等腰直角三角形的面積的一半是解題的關鍵．