Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0）、E（3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）。

（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線頂點為D，求四邊形AEDB的面積；
（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）9；（3）△AOB∽△DBE.理由見解析.

試題分析：（1）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）根據拋物線的解析式，易求得拋物線頂點D的坐標；過D作DF⊥x軸于F，那么四邊形AEDB的面積就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面積和求得．
（3）先判定△DBE是直角三角形，即可得證△AOB∽△DBE.
試題解析：（1）∵拋物線與y軸交于點（0，3），

∴設拋物線解析式為
根據題意，得，
解得
∴拋物線的解析式為；
（2）由頂點坐標公式求得頂點坐標為（1，4）
設對稱軸與x軸的交點為F
∴四邊形ABDE的面積＝ 

；
（3）相似
如圖，；



即：，所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB＝∠DBE＝90°，且，
∴△AOB∽△DBE.
考點: 二次函數綜合題．