Question

（2012•槐蔭區一模）如圖所示，拋物線y=x²+bx+c經過A、B兩點，A、B兩點的坐標分別為（-1，0）、（0，-3）．
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）點E為拋物線的頂點，點C為拋物線與x軸的另一交點，點D為y軸上一點，且DC=DE，求出點D的坐標；
（3）在直線DE上存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似，請你直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用拋物線解析式求出點C的坐標，設點D的坐標為（0，m），作EF⊥y軸于點F，利用勾股定理列式表示出DC²與DE²，然后解方程求出m的值，即可得到點D的坐標；
（3）根據點C、D、E的坐標判定△COD和△DFE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的長度，然后①分OC與CD是對應邊；②OC與DP是對應邊；根據相似三角形對應邊成比例列式求出DP的長度，過點P作PG⊥y軸于點G，再分點P在點D的左邊與右邊兩種情況，分別求出DG、PG的長度，結合平面直角坐標系即可寫出點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經過A（-1，0）、B（0，-3），
∴

1-b+c=0 c=-3

，
解得

b=-2 c=-3

，
故拋物線的函數解析式為y=x²-2x-3；

（2）令x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
則點C的坐標為（3，0），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴點E坐標為（1，-4），
設點D的坐標為（0，m），作EF⊥y軸于點F，
∵DC²=OD²+OC²=m²+3²，DE²=DF²+EF²=（m+4）²+1²，
∵DC=DE，
∴m²+9=m²+8m+16+1，
解得m=-1，
∴點D的坐標為（0，-1）；

（3）∵點C（3，0），D（0，-1），E（1，-4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根據勾股定理，CD=

OC2+OD2

=

32+12

=

10

，
在△COD和△DFE中，
∵

CO=DF ∠COD=∠DFE=90° DO=EF

，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°-90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC與CD是對應邊時，
∵△DOC∽△PDC，
∴

OC

DC

=

OD

DP

，
即

3

10

=

1

DP

，
解得DP=

10

3

，
過點P作PG⊥y軸于點G，
則

DG

DF

=

PG

EF

=

DP

DE

，
即

DG

3

=

PG

1

=

10 3

10

，
解得DG=1，PG=

1

3

，
當點P在點D的左邊時，OG=DG-DO=1-1=0，
所以點P（-

1

3

，0），
當點P在點D的右邊時，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，點P（

1

3

，-2）；
②OC與DP是對應邊時，
∵△DOC∽△CDP，
∴

OC

DP

=

OD

DC

，
即

3

DP

=

1

10

，
解得DP=3

10

，
過點P作PG⊥y軸于點G，
則

DG

DF

=

PG

EF

=

DP

DE

，
即

DG

3

=

PG

1

=

3 10

10

，
解得DG=9，PG=3，
當點P在點D的左邊時，OG=DG-OD=9-1=8，
所以，點P的坐標是（-3，8），
當點P在點D的右邊時，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，點P的坐標是（3，-10），
綜上所述，滿足條件的點P共有4個，其坐標分別為（-

1

3

，0）、（

1

3

，-2）、（-3，8）、（3，-10）．

點評：本題考查了二次函數的綜合題型，主要涉及待定系數法求二次函數解析式，勾股定理的應用，相似三角形對應邊成比例的性質，（3）題稍微復雜，一定要注意分相似三角形的對應邊的不同，點P在點D的左右兩邊的情況討論求解．