Question

已知拋物線y=x²+bx+c過點（-6,-2），與y軸交于點C，且對稱軸與x軸交于點B（-2,0），頂點為A.
（1）求該拋物線的解析式和A點坐標；
（2）若點D是該拋物線上的一個動點，且使△DBC是以B為直角頂點BC為腰的等腰直角三角形，求點D坐標；
（3）若點M是第二象限內該拋物線上的一個動點，經過點M的直線MN與y軸交于點N，是否存在以O、M、N為頂點的三角形與△OMB全等？若存在，請求出直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)A點的坐標為（﹣2，6）；
（2）D點的坐標為：（2，﹣2）；
（3）存在．直線MN的解析式為y=6或y=﹣x+2．

解析試題分析：（1）首先依據頂點坐標先求出b的值，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）過B點作CB的垂線交拋物線與D，然后過D點作x軸的垂線，垂足為E，通過三角形全等即可求得點D的坐標．
（3）由于三角形的各邊，只有OB=2是確定長度的，因此可以以OB為基準進行分類討論：
①OB=OM．因為第二象限內點P到原點的距離均大于4，因此OB≠OM，此種情形排除；
②OB=ON．分析可知，只有如答圖2所示的情形成立；
③OB=MN．分析可知，只有如答圖3所示的情形成立．
試題解析：（1）∵對稱軸與x軸交于點B（﹣2，0），
∴A的橫坐標為：x=﹣2，
∴﹣=﹣2，
解得；b=﹣2，
∴拋物線為y=﹣x²﹣2x+c，
∵拋物線y=﹣x²+bx+c過點（﹣6，﹣2），
∴代入得﹣2=﹣×（﹣6）²﹣2×（﹣6）+c，解得c=4，
∴該拋物線的解析式為：y=﹣x²﹣2x+4，
∴y=﹣x²﹣2x+4=﹣（x²+4x+4）+6）=﹣（x+2）²+6
∴A點的坐標為（﹣2，6）；
（2）過B點作CB的垂線交拋物線與D，然后過D點作x軸的垂線，垂足為E，
∵∠CBD=90°，
∴∠CBO+∠EBD=90°，
∵∠BCO+∠CBO+90°，
∴∠EBD=∠BCO，∠CBO=∠BDE，
∴在△CBO與△BDE中

∴△CBO≌△BDE（ASA）
∴DE=OB=2，BE=OC=4
∴D點的坐標為（2，﹣2）或（﹣6.2），
把（2，﹣2）或（﹣6.2）分別代入y=﹣x²﹣2x+4，（﹣2，2）合適，（﹣6，2）不合適，
∴D點的坐標為：（2，﹣2）

圖1
（3）存在．
若以O、M、N為頂點的三角形與△OBM全等，可能有以下情形：
（I）OB=OM．
由圖象可知，OM最小值為4，即OM≠OB，故此種情形不存在．
（II）OB=ON．
若點M在y軸正半軸上，如答圖2所示：

圖2
此時△OBM≌△OMN，
∴∠OMB=∠OMN，即點P在第二象限的角平分線上，ON=OB=2，M點坐標為：（4，4），
∴直線PE的解析式為：y=﹣x+2；
若點E在y軸負半軸上，易知此種情形下，兩個三角形不可能全等，故不存在．
（III）OB=MN．
∵OB=2，
∴第二象限內對稱軸左側的點到y軸的距離均大于2，
則點M只能位于對稱軸右側或與頂點A重合．
若點M位于第二象限內拋物線對稱軸的右側，易知△OMN為鈍角三角形，而△OMB為銳角三角形，則不可能全等；
若點M與點A重合，如答圖3所示，此時△OBM≌△OMN，四邊形MNOB為矩形，

圖3
∴直線MN的解析式為：y=6．
綜上所述，存在以O、M、N為頂點的三角形與△OMB全等，直線MN的解析式為y=6，y=﹣x+2．
考點：二次函數綜合題．