Question

已知函數f（x）=

3x

a

-2x2+Inx，其中a為常數，e為自然對數的底數．
（I）若a=1，求函數f（x）的單調區間；
（II）若函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由a=1得f（x）的解析式，求導，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分別得出x的取值范圍，即f（x）的單調區間；
（II）由函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，得f′（x）≥0或f′（x）≤0，分離出a，把右邊看為函數，得到函數的單調性得最值，得關于a的不等式，求解得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）若a=1時，f（x）=3x-2x²+lnx，定義域為（0，+∞）
f′(x)=

1

x

-4x+3=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

（x＞0）（3分）
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），
函數f（x）=3x-2x²+lnx單調增區間為（0，1），
函數f（x）=3x-2x²+lnx單調減區間為（1，+∞）．（6分）
（Ⅱ）.f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

，
若函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，
即f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

在[1，2]
f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0或f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≤0恒成立．
f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0或f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≤0（8分）
即

3

a

-4x+

1

x

≥0或

3

a

-4x+

1

x

≤0在[1，2]恒成立．
即

3

a

≥4x-

1

x

或

3

a

≤4x-

1

x

令h(x)=4x-

1

x

，因函數h（x）在[1，2]上單調遞增．
所以

3

a

≥h(2)或

3

a

≤h(1)

3

a

≥

15

2

或

3

a

≤3，解得a＜0或0＜a≤

2

5

或a≥1（12分）

點評：本題考查了利用導數求函數的單調性，和其逆問題，由單調性來確定導數非負或非正，分離參數，利用函數的思想，求最值，得關于a的不等式．