Question

（本小題滿分12分）已知函數（為常數）。

（Ⅰ）函數的圖象在點（）處的切線與函數的圖象相切，求實數的值；

（Ⅱ）設，若函數在定義域上存在單調減區間，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若，對于區間[1,2]內的任意兩個不相等的實數，，都有

成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為，所以，因此，

所以函數的圖象在點（）處的切線方程為，                ……1分

由得，

由，得.                                     ……3分

（Ⅱ）因為，

所以，

由題意知在上有解，

因為，設，因為，

則只要，解得，

所以b的取值范圍是.                                               ……6分

（Ⅲ）不妨設，

因為函數在區間[1,2]上是增函數，所以，

函數圖象的對稱軸為，且。

（i）當時，函數在區間[1,2]上是減函數，所以，

所以等價于

，

即，

等價于在區間[1,2]上是增函數，

等價于在區間[1,2]上恒成立，

等價于在區間[1,2]上恒成立，

所以，又，

所以.                                                              ……8分

（ii）當時，函數在區間[1, b]上是減函數，在上為增函數。

① 當時，

等價于，

等價于在區間[1,b]上是增函數，

等價于在區間[1,b]上恒成立，

等價于在區間[1,b]上恒成立，

所以，又，所以

②當時，

等價于，

等價于在區間[b,2]上是增函數，

等價于在區間[b,2]上恒成立，

等價于在區間[b,2]上恒成立，

所以，故，

③當時，

由圖像的對稱性知，

只要對于①②同時成立，

那么對于③，則存在，

使 =恒成立；

或存在，

使=恒成立，

因此，

綜上，b的取值范圍是.                                         ……12分

考點：本小題主要考查利用導數求切線方程、求單調性以及解決恒成立問題，考查學生的運算求解能力和轉化能力和分類討論思想的應用.

點評：導數是研究函數的一個有力的工具，研究函數時，不要忘記考查函數的定義域.另外恒成立問題一般轉化成求最值問題解決.