Question

已知c＞0，設P：函數y=c^x在R上單調遞減，Q：當x∈[

1

2

，2]時，不等式5c＜x+

1

x

有解，若“P或Q”為真，“P且Q”為假，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：根據指數函數性質與不等式在定區間上的有解可求P、Q為真命題的C的范圍；根據復合命題的真值表判定P、Q為一真一假，利用集合運算求解即可．

解答：解：∵函數y=c^x在R上單調遞減，∴0＜C＜1；
又y=x+

1

x

在[

1

2

，1]上遞減，在[1，2]上遞增

∵x∈[

1

2

，2]，∴2≤x+

1

x

≤

5

2

∵5c＜x+

1

x

有解
∴5c＜

5

2

⇒c＜

1

2

 根據題意，p、q一真一假，

∵c＞0，∴

1

2

≤c＜1
綜上c∈{c|

1

2

≤c＜1}

點評：本題結合指數函數的性質和不等式的有解等知識考查復合命題的真假判定方法，


注意端點值能否取到，在求解過程中易出錯．