Question

本小題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知是矩陣屬于特征值λ₁=2的一個特征向量．
（I）求矩陣M；
（Ⅱ）若，求M¹⁰a．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，A（l，0），B（2，0）是兩個定點，曲線C的參數方程為為參數）．
（I）將曲線C的參數方程化為普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0為極點，||為長度單位，射線AB為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）試證明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x²+y²=2，且|x|≠|y|，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（I）由題意，根據特征值與特征向量的定義，建立方程組，即可求得矩陣M；
（Ⅱ）求出矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），從而可求矩陣M的另一個特征值與特征向量，將向量用特征向量線性表示，進而可求結論；
（2）（I）由消去θ，即可得普通方程；
（Ⅱ）將原點移至A（1，0），則相應曲線C的方程為（x-1）²+y²=1，從而可得曲線C的極坐標方程；
（3）（I）利用作差法即可證得；
（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，則，根據，可得u²+v²=4，由柯西不等式得：，從而可求的最小值．
解答：（1）解：（I）由題意，，∴，∴a=1，b=2
∴矩陣M=；
（Ⅱ）由（I）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-2）
∴矩陣M的另一個特征值為λ₂=1
設是矩陣M屬于特征值1的特征向量，則
∴，取x=1，則
∴
∴=
（2）（I）由消去θ可得（x-2）²+y²=1；
（Ⅱ）將原點移至A（1，0），則相應曲線C的方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0
∴曲線C的極坐標方程為ρ-2cosθ=0
（3）（I）證明：左邊-右邊=a²y²+b²x²-2abxy=（ay-bx）²≥0，∴左邊≥右邊
即
（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，則
∵，∴（u+v）²+（u-v）²=8，∴u²+v²=4
由柯西不等式得：，當且僅當，即或時，的最小值是1．
點評：本題是選做題，考查矩陣的性質和應用、特征值與特征向量的計算，考查坐標系與參數方程，考查柯西不等式的證明與運用，屬于中檔題．