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用向量探索幾何的性質：
（1）在△ABC中，D是線段BC的中點，證明：
AB
+
AC
=2
AD
；
（2）把此結論推廣到四面體：設四面體ABCD，點O是三角形BCD的重心，探究
AB
，
AC
，
AD
與
AO
的等量關系，并說明理由；
（3）進一步探索，確定正n棱錐P-A1A2A3…An的底面多邊形內一點O的位置，并寫出向量：
PA1
、
PA2
、…、
PAn
與
PO
的等量關系．（不必證明）
分析：（1）證明：在△ABC中，D是線段BC的中點，利用在兩個三角形中：在三角形ABD和三角形ACD中利用向量加法的幾何意義結合相反向量即可獲證；
（2）把此結論推廣到四面體：設四面體ABCD，點O是三角形BCD的重心，則
AB
+
AC
+
AD
=3
AO
；取BC的中點E，連DE，利用點O是三角形BCD的重心，結合三角形的重心定理及（1）中的結論，即可證得；
（3）進一步探索，確定正n棱錐P-A1A2A3…An的底面多邊形內一點O的位置，向量：
PA1
、
PA2
、…、
PAn
與
PO
的等量關系是：
PA1
+
PA2
+…+
PAn
=n
PO
．
解答：解：（1）證明：在△ABC中，D是線段BC的中點，
在三角形ABD中，
AD
=
AB
+
BD
，
在三角形ACD中，
AD
=
AC
+
CD
，
兩式相加得：2
AD
=
AB
+
BD
+
AC
+
CD
，
∵
BD
=-
CD
，
∴
AB
+
AC
=2
AD

（2）把此結論推廣到四面體：
設四面體ABCD，點O是三角形BCD的重心，則
AB
+
AC
+
AD
=3
AO

證明：取BC的中點E，連DE，∵點O是三角形BCD的重心，
∴
DO
=2
OE
，
在三角形ABC中，由（1）得：
AB
+
AC
=2
AE
，∴
AE
=
1
2
(
AB
+
AC
)，
∵
DO
=2
OE
，∴
AO
=
1
3
AD
+
2
3
AE
，
∴
AO
=
1
3
AD
+
2
3
× 
1
2
(
AB
+
AC
)=
1
3
(
AD
+
AB
+
AC
)
即：
AB
+
AC
+
AD
=3
AO
．
（3）進一步探索，確定正n棱錐P-A1A2A3…An的底面多邊形內一點O的位置，向
量：
PA1
、
PA2
、…、
PAn
與
PO
的等量關系是：．（不必證明）
PA1
+
PA2
+…+
PAn
=n
PO
．
點評：本小題主要考查向量在幾何中的應用、歸納推理、向量加法的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．
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