Question

（2007•上海模擬）若函數f（x）滿足：①f（x）＞0；②任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）；③若任意a，b∈R，且a＜b，則f（a）＜f（b），試寫出該函數具有的兩個性質：

①f（0）=1；②f（x）在R上是增函數

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Answer 1

分析：由已知中函數f（x）滿足：①f（x）＞0；②任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）；③若任意a，b∈R，且a＜b，則f（a）＜f（b），我們根據基本初等基本函數的圖象和性質，可得底數大于1的指數函數滿足已知中的三個條件，故可以類比函數y=2^x的性質，說出函數的兩個性質．

解答：解：∵任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）
令a=0，則f（b）=f（0）•f（b）
即f（0）=1
又由若任意a，b∈R，且a＜b，則f（a）＜f（b），
根據函數單調性的定義，可得f（x）在R上是增函數
故答案為：①f（0）=1；②f（x）在R上是增函數

點評：本題考查的知識點是函數的圖象和性質，函數模型的選擇和應用，其中根據已知條件，結合基本初等基本函數的圖象和性質，得到底數大于1的指數函數滿足已知的三個條件是解答本題的關鍵．