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已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）若f（1）≤1，求a的取值范圍；
（2）若a＞0，求f（x）的單調區間；
（3）若當x∈[0，1]時，恒有f（x）＜0，求實數a的取值范圍．
分析：（1）f（1）≤1，即|1-a|-2≤1，即|a-1|≤3，故有-3≤a-1≤3，由此求得a的取值范圍．
（2）由于 f（x）=x|x-a|-2=
x2-ax-2=(x-
a
2
)2-2-
a2
4
 ， x＞a
-x2+ax -2 =-(x-
a
2
)2 -2+  
a2
4
 ，x ≤a 
，從而求得f（x）的單調區間．
（3）x=0時，f（x）=-2＜0成立； 由于當x∈（0，1]時，恒有f（x）＜0，可得|x-a|＜
2
x
，a∈(x-
2
x
，x+
2
x
)，令g(x)=x-
2
x
，h(x)=x+
2
x
，則g（x）max＜a＜h（x）min ，再由 g（x）在（0，1]單調增，h（x）在（0，1]單調減，可得g（1）＜a＜h（1），由此求得求實數a的取值范圍．
解答：解：（1）f（1）≤1，即|1-a|-2≤1，即|1-a|≤3，即|a-1|≤3，∴-3≤a-1≤3．
解得-2≤a≤4，故a的取值范圍為[-2，4]．
（2）由于 f（x）=x|x-a|-2=
x2-ax-2=(x-
a
2
)2-2-
a2
4
 ， x＞a
-x2+ax -2 =-(x-
a
2
)2 -2+  
a2
4
 ，x ≤a 
，
故函數f（x）的單調增區間為(-∞，
a
2
)，(a，+∞)，單調減區間為(
a
2
，a)．
（3）x=0時，f（x）=-2＜0成立；  由于當x∈（0，1]時，恒有f（x）＜0，故x|x-a|＜2，∴|x-a|＜
2
x
，
∴-
2
x
＜a-x＜
2
x
，∴x-
2
x
＜a＜x+
2
x
，∴a∈(x-
2
x
，x+
2
x
)．
令g(x)=x-
2
x
，h(x)=x+
2
x
，則g（x）max＜a＜h（x）min，再由 g（x）在（0，1]單調增，h（x）在（0，1]單調減，
∴g（1）＜a＜h（1），
∴a∈（-1，3）．
點評：本題主要考查帶有絕對值的函數，函數的恒成立問題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間[
1
2
，a]上的值域為[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
f1(x)，f1(x)≤f2(x)
f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）當a=1時，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，求實數m的范圍；
（3）當2≤a＜9時，設f（x）=f2（x）所對應的自變量取值區間的長度為l（閉區間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•閔行區二模）已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當a=1，b=0時，判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當a=1，b=1時，若f(2x)=
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，求x的值；
（3）若b＜0，且對任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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