Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱⊥底面 ，，是的中點，作交于點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、二面角等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、轉化能力.第一問，利用向量法證明平面，利用已知的垂直關系建立空間直角坐標系，寫出點A，P，B坐標，計算出向量和坐標，由于說明，再利用線面平行的判定平面；第二問，利用向量垂直的充要條件證明，而，則利用線面垂直的判定得平面EFD，所以平面EFD的一個法向量為，再利用法向量的計算公式求出平面DEB的法向量，最后利用夾角公式求二面角的正弦值.
如圖建立空間直角坐標系，點為坐標原點，設. ……..…1分

（1）證明：連結交于點，連結.依題意得.
因為底面是正方形，所以點是此正方形的中心，
故點的坐標為，且.               
所以,即,而平面,且平面,
因此平面．                           ……5分
（2）,又,故,所以.
由已知，且,所以平面. ………7分
所以平面的一個法向量為.,
不妨設平面的法向量為
則                      
不妨取則，即  …10分
設求二面角的平面角為
 因為，所以．
二面角的正弦值大小為． ………12分