Question

（本小題滿分13分）

已知數列滿足，且當時， ，令．

（Ⅰ）寫出的所有可能的值；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）是否存在數列，使得？若存在，求出數列；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）的所有可能的值為：，，，，．（2）的最大值為；（3）.

【解析】第一問中，根據題意可知當i=5時，滿足條件的數列的所有可能情況有

，分別結算得到的值

第二問中，因為遞推關系可知由，

可設，則或（，），

那么借助于累加法的思想得到數列的通項公式

第三問中，由（Ⅱ）可知，如果的前項中恰有項取，的后項中恰有項取，則，可知分析得到結論。

解:（Ⅰ）由題設，滿足條件的數列的所有可能情況有：

（1）此時；（2）此時；

（3）此時；（4）此時；

（5）此時；（6）此時；

所以，的所有可能的值為：，，，，．       ……4分

（Ⅱ）由，

可設，則或（，），

因為，所以

．

因為，所以，且為奇數，是由

個1和個構成的數列

所以

．

則當的前項取，后項取時最大，

此時．

證明如下：

假設的前項中恰有項取，則

的后項中恰有項取，其中，

，，．

所以

．

所以的最大值為．                          ……9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前項中恰有項取，的后項中恰有項取，則，若，則，因為是奇數，所以是奇數，而是偶數，因此不存在數列，使得．                                       ……13分