Question

已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）設,其中為的導函數.證明：對任意.

 

Answer 1

【答案】

：（Ⅰ）； 

（Ⅱ）的單調增為單調減區為.

（Ⅲ）見解析

【解析】：函數的定義域為

（Ⅰ），

由題意可知所以

（Ⅱ），

當時，，所以，

當時，，所以，

即的單調增為單調減區為

（Ⅲ）.

顯然時，,

所以

要證，只須證，即.

下面 求的最小值.

當時當時

所以的最小值為

即.

命題得證.

【考點定位】本題考函數的單調性、導數及其應用、切線等知識，并對分類討論思想、邏輯推理論證進行考查。第三問通過分析法使問題得證，并體現構造思想，是近幾年來少有的考查方式