Question

已知直角三角形ABC的斜邊長AB=2，現以斜邊AB為軸旋轉一周，得旋轉體．
（1）當∠A=30°時，求此旋轉體的體積；
（2）比較當∠A=30°、∠A=45°時，兩個旋轉體表面積的大小．

Answer 1

分析：（1）直角三角形ABC的斜邊長AB=2，現以斜邊AB為軸旋轉一周，得旋轉體，是由兩個圓錐組成的幾何體，求出圓錐的底面半徑，即可求出幾何體的體積．
（2）只需比較兩個旋轉體的底面半徑和高的大小，分別求出當∠A=30°、∠A=45°時，兩個旋轉體表面積的大小．即可比較．

解答：解：（1）直角三角形ABC的斜邊長AB=2，現以斜邊AB為軸旋轉一周，得旋轉體，是由兩個圓錐組成的幾何體，它們的底面半徑為：

3

2

，所以旋轉體的體積為：

1

3

×π(

3

2

)2×2=

π

2

；
（2）由（1）可知幾何體的表面積為：

1

2

×

3

π×(1+

3

)=

3+ 3

2

π．
∠A=45°時，旋轉體表面積的大小為：

1

2

×2π×(2

2

)=2

2

π；
顯然2

2

π＞

3+ 3

2

π
所以∠A=45°時，旋轉體表面積的大．

點評：本題是中檔題，考查旋轉體的體積，旋轉體的圖形特征，圓錐的表面積和體積，考查空間想象能力，計算能力，是常考題型．