Question

（2009•湖北模擬）雙曲線的實軸長、虛軸長與焦距的和為8，則半焦距的取值范圍是（　　）

• A．[4

  2

  -4，4）
• B．[4

  2

  -4，2]
• C．(4

  2

  -4，2)
• D．[4

  2

  -4，2)

Answer 1

分析：因為雙曲線的實軸長、虛軸長與焦距的和為8，所以a+b+c=4，把a+b用c表示，代入a²+b²=c²中，化簡，再用均值不等式就可得到c的一個范圍，再根據a²+b²=c²，得到c＜a+b，代入a+b+c=4，又可得到c的一個范圍，兩個范圍取公共部分，就可得到半焦距c的取值范圍．

解答：解：∵雙曲線的實軸長、虛軸長與焦距的和為8，
∴2a+2b+2c=8，a+b+c=4，∴a+b=4-c
在雙曲線中，a²+b²=c²，
∴a²+b²+2ab-2ab=c²，即（a+b）²-2ab=c²，
∴（4-c）²-2ab=c²，ab=

(4-c)2-c2

2

∵a＞0，b＞0，∴ab≤(

a+b

2

)2=

(4-c)2

4

即

(4-c)2-c2

2

≤

(4-c)2

4

，化簡得，c²+8c-16≥0
解得，c≥4

2

-4，或c≤-4

2

-4
又∵a²+b²=c²，
∴c＜a+b，
∴2c＜a+b+c=4，c＜2
∴半焦距c的取值范圍是[4

2

-4，2）
故選D

點評：本題主要考查雙曲線中a，b，c的關系式，以及和均值定理相結合求范圍，屬于綜合題．