Question

已知函數y＝f(x)是定義在R上的周期函數，周期T＝5，函數y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數，又知y＝f(x)在[0，1]上是一次函數，在[1，4]上是二次函數，且在x＝2時，函數取得最小值，最小值為－5．

(1)證明：f(1)＋f(4)＝0；

(2)試求y＝f(x)，x∈[1，4]的解析式；

(3)試求y＝f(x)在[4，9]上的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

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(1)證明：∵y＝f(x)是以5為周期的周期函數， 　　∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 　　又y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0． 　　(2)解：當x∈[1，4]時，由題意，可設 　　f(x)＝a(x－2)2－5(a≠0)，由f(1)＋f(4)＝0 　　得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0， 　　解得a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)． 　　(3)解：∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數， 　　∴f(0)＝－f(－0)，∴f(0)＝0， 　　又y＝f(x)(0≤x≤1)是一次函數， 　　∴可設f(x)＝kx(0≤x≤1)， 　　∵f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，f(1)＝k·1＝k，∴k＝－3． 　　∴當0≤x≤1時，f(x) 提示：