Question

求證：關于x的方程x²＋mx＋1＝0有兩個負實根的充分條件和必要條件均是m≥2．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)充分性：因為m≥2，所以△＝m2－4≥0．所以x2＋mx＋1＝0有實根，兩根設為x1、x2，由韋達定理，知x1x2＝1＞0，所以x1與x2同號．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1、x2同為負實數，即x2＋mx＋1＝0有兩個負實根的充分條件是m≥2． 　　(2)必要性：因為x2＋mx＋1＝0有兩個負實根x1和x2，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝≥0．故m≥2，即x2＋mx＋1＝0有兩負實根的必要條件是m≥2．綜上，m≥2是x2＋mx＋1＝0有兩個負實根的充要條件． 　　解析：本題的條件是p：m≥2，結論是q：方程x2＋mx＋1＝0有兩個負實根，然后要明確充分性的證明是pq，必要性的證明是qp．

提示：

本題關鍵是分清命題的條件p，結論q分別表示什么，且分清“充分條件”和“必要條件”的不同．