Question

已知函數定義在區間上，，且當時，恒有．又數列滿足．

（Ⅰ）證明：在上是奇函數；

（Ⅱ）求的表達式；

（III）設為數列的前項和，若對恒成立，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（III）m的最小值為7

【解析】本試題主要是考查了函數與數列的知識點的交匯處的運用。

（1）運用賦值法，令x=y=0時，則由已知有，

可解得f (0)=0．

再令x=0，y∈(-1，1)，則有，即，

∴  f (x)是(-1，1)上的奇函數

（2）令x=a_n，y= -a_n，于是，

由已知得2f (a_n)=f (a_n+1)，

∴ ，

從而得到 數列{f(a_n)}是以f(a₁)=為首項，2為公比的等比數列．

∴ 

（3）由(II)得f(a_n+1)=-2ⁿ，于.

然后求解和式，得到結論。

解：（Ⅰ）證明：令x=y=0時，則由已知有，

可解得f (0)=0．

再令x=0，y∈(-1，1)，則有，即，

∴  f (x)是(-1，1)上的奇函數．                                            4分

（Ⅱ）令x=a_n，y= -a_n，于是，

由已知得2f (a_n)=f (a_n+1)，

∴ ，

∴ 數列{f(a_n)}是以f(a₁)=為首項，2為公比的等比數列．

∴                                                8分

（III）由(II)得f(a_n+1)=-2ⁿ，于.

∴ T_n= b₁+ b₂+ b₃+…+ b_n

，

.

∴ .             9分

令

于是，

∴ .

∴ k(n+1)<k(n)，即k(n)在N*上單調遞減，         12分

∴ k(n)_max=k(1)=，

∴ ≥即m≥.

∵ m∈N^*，

∴ m的最小值為7．               14分