Question

已知點A(-

2

，0)，B(

2

，0)，P是平面內(nèi)的一個動點，直線PA與PB交于點P，且它們的斜率之積是-

1

2

．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程，并求出曲線C的離心率的值；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點，當(dāng)線段MN的中點在直線x+2y=0上時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出P點坐標(biāo)，求出PA，PB所在直線的斜率，由直線PA與PB的斜率之積是-

1

2

列式求出動點P的軌跡C的方程，并求出其離心率；
（Ⅱ）設(shè)出M，N的坐標(biāo)及其這種點的坐標(biāo)，把M，N的坐標(biāo)代入曲線方程，結(jié)合其中點在直線x+2y=0上，利用點差法求直線l的斜率．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y），∴kPA=

y

x+ 2

，kPB=

y

x- 2

，
則由已知得：

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，
整理得

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)．
∴求得的曲線C的方程為

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)．
a²=2，b²=1，∴c=

2-1

=1，
∴e=

c

a

=

1

2

=

2

2

；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點（x₀，y₀），
得

x12+2y12=2 x22+2y22=2

，
①-②得，(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(

y

2 1

-

y

2 2

)=0，
∴(x1+x2)+2(y1+y2)•(

y1-y2

x1-x2

)=0 （x₁≠x₂），
又x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
∴x₀+2y₀•k=0，
又∵x₀+2y₀=0，
以上兩式聯(lián)立解得直線l的斜率k=1．
∴直線l的方程為y=x+1．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“點差法”求直線的斜率，是中檔題．